مبادئ في المنطق طارق بوزيد ثانوية موالي اسماعيل التأهيلية نيابة الدريوش مبادئ في المنطق أولى باكالوريا علوم رياضية عنوان الدرس : من انجاز األستاذ :

Transkript

1 مبادئ في المنطق ألى باكالريا علم رياضية 1 عنان الدرس : مبادئ في المنطق من انجاز األستاذ : طارق بزيد المؤسسة : ثانية مالي اسماعيل التأهيلية نيابة الدريش.I عبارة داةل عبارية.II املمكامت امعبارات املمكمة.III امعمليات عىل امعبارات.1 نفي عبارة.. الاس تدالل ابملثال املضاد.3 فصل عطف عبارتني.4 الاس تلزام املنطقي.5 الاس تدالل الاس تنتايج.6 امتاكفؤات املنطقية.7 الاس تدالل ابمتاكفئات املتتامية. I بعض امقانني املنطقية أمناط الاس تدالل.1 امقانني املنطقية. الاس تدالل ابالس تلزام املضاد امعكس.3 الاس تدالل ابخللف.4 الاس تدالل بفصل احلاالت.5 الاس تدالل ابمرتجع.I عبارة داةل عبارية نشاط : حدد من ب ن النصص الر اض ة التال ة الت تحمل معنى صح حا : 17 ) عدد أل. ) )C )D )E عدد ال جذري بح ث a² b² 5 بح ث (a, b) ² الحظ أن جم ع الىصىص الر اض ة C D E تحمل معىى المعنى الذي حمله النص ) مثال صح ح المعنى الذي حمله النص )C خاطئ كل من ) )C تسمى عبارة ر اض ة. تعريف : 1 OUZID TRIQ ) Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015

2 نقصد بالعبارة الر اض ة ف المنطق كل نص ر اض حمل معنى كن إما صح حا أ خاطئا )ال مكن أن كن صح حا خاطئا ف آن احد(. المعنى الذي حمله النصان E( D ( ال مكن تحد د صحته ألنها مرتبطة بمتغ رات : معنى خاطئا من أجل3 حمل معنى صح حا من أجل 3 D( E( حمل معنى صح حا من أجل (,1) ( ab, ) معنى خاطئا من أجل(, ) ( ab, ) كل من النص ن D( E ( سمى دالة عبار ة. نقصد بالدالة العبار ة كل نص ر اض حتي على متغ ر)أ أكثر( نتم إلى مجمعة مع نة )أ عدة مجمعات( صبح عبارة كلما عضنا هذا المتغ ر)أ المتغ رات( بعنصر محدد )أ عناصر محددة( من هذه المجمعة. ترميز : نرمز لدالة عبار ة حسب المتغ ر برمز ك m) Q(a,b,c) (n,...الخ ( ): أمثلة : نعتبر n عدد أل بح ث n² n41 : (n) : Q مجمع ق اسات زا ا مثلث تساي 180 : R مجمع ق اسات زا ا مثلث تساي 360 العبارة Q عبارة صح حة. العبارة R عبارة خاطئة. العبارات (1) () (3) صح حة العبارة (41) خاطئة..II املمكامت امعبارات املمكمة تقديم :...,,,,,,,, كما نعلم فإن لغة الر اض ات تستعمل اللغة المتدالة باإلضافة إلى رمز ر اض ة مثل : أحرف مثل :,... a, b,,,, y,,, النصص الر اض ة ه كل تجم ع لهذه الكلمات الرمز الحرف معا مثال : ح ث 10 اللغة الر اض ة تمكننا أ ضا من إختصار التعاب ر الر اض ة مثال : بدل جذر مربع العدد ثالثة قسمة العدد اثنان عدد حق ق 3 نعتبر الدالة العبار ة ) ( التال ة : مجمع عدد حق ق مقلبه سالب قطعا لتكن العبارة التال ة : ( ( صح حة لكل عدد حق ق سالب غ ر منعدم العبارة صح حة. نعتبرالدالة العبار ة ) ( التال ة : لتكن Q العبارة التال ة : جد عدد صح ح طب ع بح ث( ( صح حة صح حة. جذر مربع عدد صح ح طب ع ساي عدد صح ح طب ع أكتب باستعمال الرمز فقط ثم تحقق أن أكتب Q باستعمال الرمز فقط ثم تحقق أن Q.1. لكل عبارة صح حة. * 1 0 : OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

3 3 عبارة صح حة. : جد n حقق n Q n : n : مكن أن نعض جم ع الكلمات ف العبارت ن Q * 1 : 0 : برمز ر اض ة فتصبحان : Q ( ) * من تقرأ لكل * : سمى المكمم الكن العبارة ( ( لد نا الرمز n تقرأ : سمى المكمم الجدي العبارة ( ( جد على األقل عنصر من حقق( ( الرمز!n : ( ) ترميز : المكمم الذي نرمز له ب! حقق عن حدان ة العنصر العبارة تقرأ جد عنصر ح د من ( ) حدد العبارات الصح حة العبارات الخاطئة من ب ن العبارات التال ة : n : n * 1 : 0 : ² 1 0 : ² 1 0, : cos 0 : ² 3 0 أكتب بدن مكممات العبارات التال ة ثم حدد ق مة حق قتها :, y : y, y : ² y² 1 n,, m : n m y, : y 0, y : y 0 ملحظة : تحد د ق مة عبارة ه تحد د هل هذه العبارة صح حة أم خاطئة. ملحظة هامة : نالحظ أن ترت ب المكممات مهم اذا كانت من طب عة مختلفة مثال : 0, y : y خاطئة ألنها تعن أن المجمعة مكبرة. y, : y 0 صح حة لكن العبارة عبارة.III امعمليات عىل امعبارات (La négation d une proposition) 3 1 نفي عبارة. لد نا العبارات التال ة : OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

4 أ) مبادئ في المنطق ألى باكالريا علم رياضية 4 (a,b) بح ث a ب( b ب( Q D 1 (a,b) بح ث a b Q D 1 أ( أ( أ( D مستق مان متقاطعان ب( D مستق مان منفصالن هل مكن أن تكن العبارتان )أ( )ب( صح حتان معا ف كل حالة هل مكن استنتاج حق قة )ب( ان علمنا حق قة ( أ العكس : ² 0 : f ( ) 0 لتكن عبارة العبارة الت تكن صح حة ان كانت خاطئة العكس: أتمم الجدل جانبه : نف عبارة ه العبارة الت نرمز لها ب تكن صح حة إذا كانت خاطئة تكن خاطئة إذا كانت صح حة. اصطالحا : تقرأ نف العبارة مكن تلخ ص العالقة ب ن خاصية : ف الجدل جانبه الذي سمى بجدل الحق قة : E : ( ) ه العبارة نف العبارة ) E : ( E : ( ) ه العبارة نف العبارة ) E : ( ( n )( m): n m (Raisonnement par le contreeemple) ( n) : مثال تطبيقي : حدد نف العبارات التال ة : n² عدد فردي الاستدالل ابملثال املضاد. 3 ب ن أن العبارات التال ة خاطئة : ( y, ) ² : ² y² 0 n : عدد زج n², y : ² y y 0 a, b: a b 3 * * ( nm, ) :... n n 1 m f ( ) ² دالة زج ة الدالة المعرفة بما ل ( ): ( ). ( 1) ( ² 1) كل حدد ة درجتها أصغر مه أ تساي 3 تحقق : ( ) نتيجة : بصفة عامة للبرهنة على صحة عبارة ما كف أن نب ن أن نف هذه العبارة خاطئة العكس صح ح. خاطئة كف أن نب ن أنه جد على األقل عنصر ال حقق أي أن نب ن مثال لك نب ن أن عبارة : ) E : (. صحة العبارة : () E: هذا النع من االستدالل سمى باالستدالل بالمثال المضاد. OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

5 5 3 3 فصل عطف عبارتني. propositions) (La disjonction et la conjonction de deu Q Q Q أ لتكن Q عبارت ان منطق تان حدد حق قة العبارة Q ثم العبارة أ Q ف كل حالة ثم أتمم مأل الجدل جانبه : ( Q) عطف عبارت ن Q ه العبارة الت نرمز لها ب تكن صح حة فقط إذا كانت Q صح حت ن معا. Q أ فصل عبارت ن Q األقل صح حة. ه العبارة الت نرمز لها ب ( ) Q تكن صح حة إذا كانت احدى العبارت ن على أمثلة تطبيقية : ( ) : ² 1 3 أ 0 حدد حق قة العبارات التال ة : 50 عدد زج مضاعف للعدد 5... ( ) : ² 3 3 (Implication logique) 3 4 الاس تلزام املنطقي. ( y, ) y : ( y, ) y0 لتكن : ح ث ح ث أ أتمم مأل جدل الحق قة جانبه : إذا كانت فإن. أ ه نفس ق مة العبارة نالحظ أن ق مة حق قة العبارة إذا كانت فإن ه العبارة الت تكن خاطئة فقط إذا كانت صح حة خاطئة نسم العبارة ( ) استلزام العبارت ن نكتب : أ إذا كانت تقرأ تستلزم فإن صح حة. اصطالحا : نقل إستنتاج منطق للعبارة اذا كانت فنقل أن : صح حا ف كف أن تكن ق مة حق قة صح حة لنستنتج صحة العبارة ملحظة : اذا كان االستلزام شرط كاف لتحقق. OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

6 6 بالضررة صح حة فنقل أن شرط (Le raisonnement déductif) صح حا فانه لتحقق جب أن تكن ق مة حق قة اذا كان االستلزام الزم لتحقق. 3 5 الاستدالل الاستنتايج. نتيجة : من خالل جدل حق قة استلزام أن صح حة أ ضا تب ن لنا أنه إذا كان االستلزام صح ح فان صحة العبارة تعن بالضررة ( أي اذا علمنا أن عبارة صح حة كف ) بالتال للبرهنة على صحة عبارة كف أن نبرهن على صحة العبارة صح ح لك نستنتج صحة العبارة. هذا النع من االستدالل سمى باالستدالل االستنتاج. أن نب ن أن االستلزام ملحظة : 1 n n1 n 3... الى عبارات صح حة فان عبارة صح حة تقل أن 1 اذا كان لد نا االستلزام عمل ة متعد ة. uv. 0 v u لتكن متجهت ن من المستى بح ث u v ب ن أن y z yz ب ن أنه اذا كانت y z ثالثة أعداد حق ق ة مجبة قطعا فإن المتفاتة التال ة صح حة :z y z y (Équivalences logiques) 3 6 امتاكفؤات املنطقية. DC : متازي األضالع CD : ف كل حالة ثم أتمم الجدل التال : حق قة العبارة : نعتبر العبار ت ن حدد حق قة العبارة نالحظ أنه اذا كانت ق مة احدى العبارت ن أ تكن خاطئة. خاطئة فان العبارة الت تكن صح حة فقط إذا كانت ل ) تكافئ عبارت ن ه العبارة ) نكتب: إذا فقط إذا كانت أ تكافئ تقرأ نفس ق م الحق قة OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

7 7 : فنقل أن ملحظة : اذا كان التكافئ صح حا فان تحقق ضرري لتحقق العبارة. شرط كاف الزم لتحقق ( y 0) ( y 0) uv. 0 u v ل كن y v u لتكن عددان حق ق ان ب ن أن : متجهت ن من المستى ب ن أن : تمرين: تحقق أن العبارات ف كل حالة من الحاالت التال ة متكافئة )ح ث Q R عبارات منطق ة ) Q ( Q) R Q Q Q ( Q R) Q ( Q) 3 7 الاستدالل ابمتاكفؤات املتتامية. successives) (Raisonnement par Équivalences نتيجة : n1 n التكافؤ عمل ة تجم ع ة تبادل ة بالتال لك نب ن صحة )أ خطأ( كف أن نب ن أن n بح ث عبارة صح حة )أ خاطئة( هذا النع من االستدالل سمى االستدالل بالتكافؤات المتتال ة. باستعمال التكافؤات المتتال ة ب ن صحة ما ل : y ] 1,1[, y] 1,1[ ] 1,1[ 1 y حل ف 1: 1 المعادلة ² ( 1) 4 y( y 1) : (Lois logiques).i بعض امقانني املنطقية أمناط الاستدالل 4 1 امقانني املنطقية. تقديم : الخاص ات الر اض ة المبرهنات النتائج ه عبارات صح حة للتحقق من صحتها نقم بالبرهنة عل ها باستعمال أدات طرق ر اض ة منطق ة اال أن بعض هذه العبارات تم قبلها صح حة دن برهنة تسمى بالمسلمات أ المضعات. بصفة عامة كل تجم ع لعدة عبارات مرتبطة ف ما ب نها بعمل ات منطق ة تكن صح حة مهما كانت صحة العبارات الت تكنها تشكل قاعدة عامة تسمى قاننا منطق ا مكن التحقق من صحته باستعمال طر قة من طرق االستدالل الر اض سنتطرق ف ما ل الى بعض األنماط من االستدالالت الر اض ة األكثر تداال. OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

8 8 قانن منطق ه عبارة تكن دائما صح حة. أمثلة لبعض القانين المنطقية : قانن منطق. العبارة 0 : ² ه القاعدة العامة لالستدالل االستنتاج قانن منطق. ) ( ( قاعدة االستدالل بالتكافؤ قانن منطق. ) ( )) العبارة C( ( C) العبارة العبارات التال ة أ ضا قان ن منطق ة تسمى بقان ن مرغان Morgan( )Lois de : بتظ ف قان ن مرغان ب ن أن : ² 310 ² y² 0 بتظ ف قان ن مرغان حل ف ² النظمة التال ة : (Raisonnement par contraposition) 4 الاستدالل ابالس تلزام املضاد نلعكس. تحقق أن العبارة التال ة : قانن منطق. قانن االستلزام المضاد للعكس: العبارة قانن منطق. a² عدد زج a عدد زج (Raisonnement par l absurde) ل كن a باستغالل االستدالل باالستلزام المضاد العكس ب ن أن : 4 3 الاس تدالل ابخللف. ب ن أنه ال جد أي عدد صح ح طب ع قصي أي أن مجمعة األعداد الصح حة الطب ع ة غ ر مكبرة. (( C) ( C)( قانن الخلف : العبارة ( قانن منطق. ( C) ( بما أن العبارة C ال مكن أن تكن خاطئة صح حة ف آن احد فلك كن كال االستلزام ن (C صح ح ن فان ق مة حق قة العبارة بالضررة خاطئة منه صح حة..1 باستعمال االستدالل بالخلف ب ن أن المجال من ال قبل أكبر عنصر. I [0,1[.. باستعمال االستدالل بالخلف ب ن أن Q OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)

9 9 (Raisonnement par disjonction des cas) 4 4 الاس تدالل بفصل احلاالت. C) ( C) ( ) قانن منطق. ( أ )) قانن فصل الحاالت : العبارة ( C ( مالحظة : C) ( C) ( ) بالتال للبرهنة على صحة العبارة اذا عضنا العبارة بالعبارة فاننا نحصل على : C ( C كف أن نب ن أن االستلزام ن (C ) ( C ( صح ح ن معا أي أن C صح حة ف كلتا الحالت ن. (Raisonnement par récurrence) nn ( 1) n : ب ن أن العبارة التال ة صح حة : 4 5 الاس تدالل ابمرتجع. nn 0 : ( n) (n1) مبرهنة : لتكن ) ( n دالة عبار ة لمتغ ر صح ح طب ع n n ( n0 بح ث 0) n n : ( n) 0 إذا كان جد فإن العبارة : صح حة إذا كانت كذللك صح حة. صح حة n * nn ( 1) n : i 1... n i1 n n 4: n² ب ن بالترجع أن n : n n OUZID TRIQ Ingénieur pédagogique et rof de Maths/secondaire qualifiant Lycée Moulay Ismail Driouch (014/015)